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Let us do the same with the field with $2^6$ elements, and also count the places.

sage: sage: R.<x,y,z> = PolynomialRing(GF(2^6))
....: sage: f = y^2*z - x^3 - 2*x*z^2 - z^3    # that two is zero
....: sage: C = Curve(f)
....: sage: F = C.function_field()
....: sage: for count, place in enumerate(F.places()):    print(count, place)

This leads to $2^6+1$ print lines...

0 Place (1/y, 1/y*z + 1/y)
1 Place (1/y, 1/y*z^2 + ((y + 1)/y)*z + 1)
2 Place (y, z + 1)
3 Place (y, z + z6^3 + z6^2 + z6)
4 Place (y, z + z6^3 + z6^2 + z6 + 1)
5 Place (y + z6, z + z6^5 + z6^4 + z6^3 + z6^2 + z6)
6 Place (y + z6^2, z + z6^3 + 1)
7 Place (y + z6^3, z + z6^4 + z6^3 + z6^2 + 1)
8 Place (y + z6^3, z + z6^5 + z6^3 + z6^2 + z6 + 1)
9 Place (y + z6^3, z + z6^5 + z6^4 + z6)
10 Place (y + z6^4, z + z6^4 + z6^3 + z6)
11 Place (y + z6^4 + z6^3 + z6 + 1, z + z6)
12 Place (y + z6^4 + z6^3 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^4 + z6^3 + z6^2 + 1)
13 Place (y + z6^4 + z6^3 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^4 + z6^3 + z6^2 + z6 + 1)
14 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6^2 + z6, z + z6^5 + z6^4 + z6 + 1)
15 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6^2 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^3)
16 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6^3 + 1, z + z6^5 + z6^4 + z6^3 + z6 + 1)
17 Place (y + z6^5 + z6^3 + 1, z + z6^2)
18 Place (y + z6^5 + z6^3 + 1, z + z6^3)
19 Place (y + z6^5 + z6^3 + 1, z + z6^3 + z6^2)
20 Place (y + z6^4 + z6, z + z6 + 1)
21 Place (y + z6^4 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^3 + z6)
22 Place (y + z6^3 + z6^2 + z6, z + z6^2 + z6)
23 Place (y + z6^3 + z6^2 + z6, z + z6^5 + 1)
24 Place (y + z6^3 + z6^2 + z6, z + z6^5 + z6^2 + z6 + 1)
25 Place (y + z6^4 + z6^3 + z6^2, z + z6^4 + z6^3)
26 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6^3, z + z6^5 + z6^2 + 1)
27 Place (y + z6^5 + z6^3 + z6 + 1, z + z6^3 + z6 + 1)
28 Place (y + z6^5 + z6^3 + z6 + 1, z + z6^4)
29 Place (y + z6^5 + z6^3 + z6 + 1, z + z6^4 + z6^3 + z6 + 1)
30 Place (y + z6^3 + z6^2 + 1, z + z6^5 + z6^4 + z6^3 + z6)
31 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6^2, z + z6^3 + z6)
32 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6^2, z + z6^4 + z6^2 + z6)
33 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6^2, z + z6^4 + z6^3 + z6^2)
34 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6 + 1, z + z6^2 + 1)
35 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6^3 + z6^2 + 1, z + z6^5 + z6^4 + 1)
36 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6, z + z6^5 + z6^3 + z6^2 + z6)
37 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6^3 + z6^2 + z6 + 1, z + z6^4 + z6 + 1)
38 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6^3 + z6^2 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^3 + z6 + 1)
39 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6^3 + z6^2 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^4 + z6^3)
40 Place (y + z6^4 + 1, z + z6^4 + z6)
41 Place (y + z6^4 + z6^3 + z6^2 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^3 + z6^2 + 1)
42 Place (y + z6^3 + z6^2 + z6 + 1, z + z6^4 + z6^2)
43 Place (y + z6^3 + z6^2 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^2)
44 Place (y + z6^3 + z6^2 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^4)
45 Place (y + z6^4 + z6^3 + z6^2 + z6, z + z6^5 + z6^2 + z6)
46 Place (y + z6^5 + z6^4 + z6^3 + z6^2, z + z6^5 + z6^3 + z6^2)
47 Place (y + z6^5 + z6 + 1, z + z6^3 + z6^2 + 1)
48 Place (y + z6^5 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^4 + z6^2)
49 Place (y + z6^5 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^4 + z6^3 + 1)
50 Place (y + z6^4 + z6^3 + z6^2 + 1, z + z6^5)
51 Place (y + z6^5 + z6^3 + z6^2 + z6 + 1, z + z6^4 + z6^3 + z6^2 + z6)
52 Place (y + z6^5 + z6^3 + z6^2 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^3 + 1)
53 Place (y + z6^5 + z6^3 + z6^2 + z6 + 1, z + z6^5 + z6^4 + z6^2 + z6 + 1)
54 Place (y + z6^2 + 1, z + z6^5 + z6^4 + z6^2 + z6)
55 Place (y + z6^3 + z6, z + z6^4 + z6^3 + 1)
56 Place (y + z6^3 + z6 + 1, z + z6^4 + z6^2 + 1)
57 Place (y + z6^4 + z6^2 + z6, z + z6^4 + z6^3 + z6^2 + z6 + 1)
58 Place (y + z6^4 + z6^2 + z6, z + z6^5 + z6 + 1)
59 Place (y + z6^4 + z6^2 + z6, z + z6^5 + z6^4 + z6^3 + z6^2)
60 Place (y + z6 + 1, z + z6^4 + 1)
61 Place (y + z6^3 + z6^2, z + z6^2 + z6 + 1)
62 Place (y + 1, z + z6^4 + z6^2 + z6 + 1)
63 Place (y + 1, z + z6^5 + z6)
64 Place (y + 1, z + z6^5 + z6^4 + z6^2 + 1)
sage:

In case of $2^{128}$ which is

sage: 2^128
340282366920938463463374607431768211456

we may need the surface of Mars as an intermediate step in the computation.